ایده آل های اوّل وابسته به مدول های کوهمولوژی موضعی

فرض کنید (r,m) حلقه ی جابجایی موضعی(نوتری) از بعد d،m یک r- مدول متناهی مولّد و i ایده آلی از r باشد. نشان می دهیم ایده آل های اوّل وابسته به i- امین مدول کوهمولوژی موضعی m، یعنی hii(m) ، برای هر i?0، در حالت های زیر مجموعه ای متناهی است: (i) هنگامیکه .d?3 (ii) هنگامیکه d=4 و rp برای هر ایده آل اول p ? m منظّم باشد. (iii) هنگامیکه d=5، r حلقه ای غیر منشعب موضعی منظّم و m یک r– مدول فارغ از تاب باشد. بعلاوه اگر d>0، آنگاه suppr hid-1 (m) برای هر حلقه دلخواه r، ایده آل دلخواه iوr –مدول دلخواه m، مجموعه متناهی است. در ادامه نشان خواهیم داد، هنگامیکه r حلقه ی موضعی منظّم است، ایده آل اوّل وابسته به مدول کوهمولوژی hi2(r) مجموعه ای متناهی است. همچنین اگر xd, …,x1 دستگاهی از پارامترهای r باشد، آنگاه d(hi(x1, …, xi) (r)) برای هر i?d-1 ، تعداد متناهی ایده آل اوّل وابسته خواهد داشت. که در آن d(.):=homr(.,e) فانکتور دوگان ماتلیس است، و e:= er(r/m) پوشش انژکتیو میدان مانده ای r/m می باشد. در پایان مثال نقضی برای فرضیه ی گروثندیک ( که در مقدّمه ی فصل سوّم بیان شده) خواهیم آورد که بیان می کند، اگرd?3، آنگاه با قرار دادن i=(x1) ? (x2,....,xd)، r- مدول homr(r/i,hid-1(r)) مجموعه ای متناهی نیست.